PROBABILIDAD CONDICIONAL
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Sea d un espacio muestral en donde se ha definido un evento E, donde p(E)>0, si deseamos
determinar la probabilidad de que ocurra un evento A (el que también es
definido en el mismo espacio muestral), dado que E ya ocurrió, entonces
deseamos determinar una probabilidad de tipo condicional,
Donde:
p(A½E) = probabilidad
de que ocurra A dado que E ya ocurrió
p(AÇE) = probabilidad
de que ocurra A y E a un mismo tiempo
p(E) = probabilidad de que ocurra
Donde:
½AÇE½= número de
elementos comunes a los eventos A y E
½E½= número de
elementos del evento E
Luego entonces podemos usar cualquiera de las dos fórmulas para calcular
la probabilidad condicional de A dado que E ya ocurrió.
Variable
Aleatoria Discreta
Las variables aleatorias pueden ser discretas y continuas. En el
capítulo siguiente trataremos extensamente las variables aleatorias continuas
(v. a. c.), pero de momento, con el objeto de visualizar la diferencia entre
ellas, podemos decir que las discretas surgen generalmente al contar, mientras
que las continuas aparecen cuando se mide.
na variable
aleatoria continua teóricamente puede asumir cualquier valor entre dos límites
dados, o sea que sus variaciones son infinitesimales, mientras que en las
variables aleatorias discretas existen “saltos” o “interrupciones” entre los
valores que puede tomar.
De acuerdo a lo anterior podemos decir que:
Una
variable aleatoria X es discreta, si solamente puede tomar un conjunto
numerable de valores.
Como ejemplos de variables aleatorias discretas podemos mencionar: el
número de libros en una biblioteca, el número de habitantes en una población,
la cantidad de dinero que una persona trae en su bolsillo, el número de aves en
un gallinero, el número de admisiones diarias a un hospital, el número de
accidentes automovilísticos en una carretera durante un año, etc.
Sea X una variable aleatoria
asociada con un experimento aleatorio. Si el resultado de un experimento es a, entonces decimos que en
esta prueba la variable aleatoria X ha tomado el valora, o que hemos observado el valor X = a.
Una variable aleatoria tiene las siguientes propiedades:
1. La variable aleatoria X es un evento que se define en el espacio muestral S
del experimento y sus valores son números reales.
2. Sea a cualquier número real y
sea I cualquier intervalo de S. Entonces el conjunto de todos los valores para
los que X = a tiene una
probabilidad bien definida y lo mismo se cumple para todos los valores de X que están en I.
Ejemplo 4. 1. Sea el experimento de lanzar 3 veces una moneda y
representemos por X el evento del número de
caras que aparecen. Encontrar los valores que puede tomar la variable
aleatoria.
Solución.
El espacio muestral de lanzar 3 veces una moneda es:
S = { ccc, cc+, c+c, +cc, c++, +c+, ++c, +++}
Si solamente nos interesa el número de caras que aparecen, entonces al
punto muestral (+++) le corresponde el valor cero porque no hay ninguna cara, a
cada punto muestral donde hay una cara (c++, +c+, ++c) le corresponde el valor
1 y así los demás puntos muestrales. Por lo tanto:
X(+++) = 0
(c++) = X(+x+) =
X(++c) = 1
X(cc+) = X(c+c) = X(+cc) = 2
X(ccc) = 3
Distribución de
probabilidad
Ejemplo
de variable aleatoria
Lanzamos un dado perfecto 240 veces, anotamos el resultado obtenido en la cara superior obteniendo los siguientes resultados:
|
Distribución
aleatoria discreta
|
||||||
|
Cara superior
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
Número de veces
|
40
|
39
|
42
|
38
|
42
|
39
|
1. Tabla de distribución de frecuencias
La tabla de distribución de frecuencias muestra los resultados obtenidos
2. Tabla de distribución de probabilidad
La tabla de distribución de probabilidad muestra los resultados esperados
3. Gráfica de las distribuciones
En la gráfica de los valores esperados, observamos que a cada valor de la variables aleatoria xi "cara del dado" le hacemos corresponder su probabilidad teórica. A esta ley se le llama distribución de probabilidad.
CALCULO DE
LA MEDIA Y LA DESVIACION ESTANDAR
En matemáticas
y estadística una media o promedio es una medida de tendencia central que según
la Real Academia Española (2001) «[…] resulta al efectuar una serie determinada
de operaciones con un conjunto de números y que, en determinadas condiciones,
puede representar por sí solo a todo el conjunto». Existen distintos tipos de
medias, tales como la media geométrica, la media ponderada y la media armónica
aunque en el lenguaje común, el término se refiere generalmente a la media
aritmética.
La media estadística se usa en estadística para dos conceptos diferentes aunque numéricamente similares:
La media estadística se usa en estadística para dos conceptos diferentes aunque numéricamente similares:
·
La media
muestral, que es un estadístico que se calcula a partir de la media
aritmética de un conjunto de valores de una variable aleatoria.
·
La media
poblacional, valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria.
En la práctica dada una muestra estadística suficientemente
grande el valor de la media muestral de la misma es numéricamente muy cercano a
la esperanza matemática de la variable aleatoria medida en esa muestra. Dicho
valor esperado, sólo es calculable si se conoce con toda exactitud la
distribución de probabilidad, cosa que raramente sucede en la realidad, por esa
razón, a efectos prácticos la llamada media se refiere normalmente a la media
muestral.
Media muestral
La media
resume en un valor las características de una constante teniendo en cuenta a
todos los casos. Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas Media muestral: Si se tiene una muestra estadística de
valores 
de valores para una variable aleatoria Xcon distribución de
probabilidad F(x,θ)
[donde θ es un conjunto de parámetros de la distribución] se define la media
muestral n-ésima como:
de valores para una variable aleatoria Xcon distribución de
probabilidad F(x,θ)
[donde θ es un conjunto de parámetros de la distribución] se define la media
muestral n-ésima como:
Desviación estándar
La desviación estándar o desviación
típica es la raíz cuadrada de la varianza.
Es decir, la
raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.
La desviación estándar se representa por σ.
Desviación estándar para datos agrupados
Para
simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son
equivalentes a las anteriores.
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