viernes, 3 de mayo de 2013

COMPRENDE, REPRESENTA Y APLICA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL Y DISTRIBUCION DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRITAS.


PROBABILIDAD CONDICIONAL
PROBABILIDAD CONDICIONAL 

Sea d un espacio muestral en donde se ha definido un evento E, donde p(E)>0, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A (el que también es definido en el mismo espacio muestral), dado que E ya ocurrió, entonces deseamos determinar una probabilidad de tipo condicional,
  

Donde:

p(A½E) = probabilidad de que ocurra A dado que E ya ocurrió
p(AÇE) = probabilidad de que ocurra A y E a un mismo tiempo
p(E) = probabilidad de que ocurra  


Donde:

½AÇE½= número de elementos comunes a los eventos A y E
½E½= número de elementos del evento E
Luego entonces podemos usar cualquiera de las dos fórmulas para calcular la probabilidad condicional de A dado que E ya ocurrió.

Variable Aleatoria Discreta

 Las variables aleatorias pueden ser discretas y continuas. En el capítulo siguiente trataremos extensamente las variables aleatorias continuas (v. a. c.), pero de momento, con el objeto de visualizar la diferencia entre ellas, podemos decir que las discretas surgen generalmente al contar, mientras que las continuas aparecen cuando se mide.
na variable aleatoria continua teóricamente puede asumir cualquier valor entre dos límites dados, o sea que sus variaciones son infinitesimales, mientras que en las variables aleatorias discretas existen “saltos” o “interrupciones” entre los valores que puede tomar.

De acuerdo a lo anterior podemos decir que:

Una variable aleatoria X es discreta, si solamente puede tomar un conjunto numerable de valores.

Como ejemplos de variables aleatorias discretas podemos mencionar: el número de libros en una biblioteca, el número de habitantes en una población, la cantidad de dinero que una persona trae en su bolsillo, el número de aves en un gallinero, el número de admisiones diarias a un hospital, el número de accidentes automovilísticos en una carretera durante un año, etc.

 Sea X una variable aleatoria asociada con un experimento aleatorio. Si el resultado de un experimento es a, entonces decimos que en esta prueba la variable aleatoria X ha tomado el valora, o que hemos observado el valor X = a.

 Una variable aleatoria tiene las siguientes propiedades:

1.    La variable aleatoria X es un evento que se define en el espacio muestral S del experimento y sus valores son números reales.

2.          Sea a cualquier número real y sea I cualquier intervalo de S. Entonces el conjunto de todos los valores para los que X = a tiene una probabilidad bien definida y lo mismo se cumple para todos los valores de X que están en I.

Ejemplo 4. 1. Sea el experimento de lanzar 3 veces una moneda y representemos por X el evento del número de caras que aparecen. Encontrar los valores que puede tomar la variable aleatoria.

Solución.

El espacio muestral de lanzar 3 veces una moneda es:
S = { ccc, cc+, c+c, +cc, c++, +c+, ++c, +++}

Si solamente nos interesa el número de caras que aparecen, entonces al punto muestral (+++) le corresponde el valor cero porque no hay ninguna cara, a cada punto muestral donde hay una cara (c++, +c+, ++c) le corresponde el valor 1 y así los demás puntos muestrales. Por lo tanto:
X(+++) = 0
(c++) = X(+x+) = X(++c) = 1
X(cc+) =  X(c+c) = X(+cc) = 2
X(ccc) = 3

Distribución de probabilidad





Ejemplo de variable aleatoria


Lanzamos un dado perfecto 240 veces, anotamos el resultado obtenido en la cara superior obteniendo los siguientes resultados: 

Distribución aleatoria discreta
Cara superior
1
2
3
4
5
6
Número de veces
40
39
42
38
42
39

Distribución aleatoria discreta

1.  Tabla de distribución de frecuencias 

La tabla de distribución de frecuencias muestra los resultados obtenidos




2.  Tabla de distribución de probabilidad

La tabla de distribución de probabilidad muestra los resultados esperados



3.  Gráfica de las distribuciones 


En la gráfica de los valores esperados, observamos que a cada valor de la variables aleatoria xi "cara del dado" le hacemos corresponder su probabilidad teórica. A esta ley se le llama distribución de probabilidad.

CALCULO DE LA MEDIA Y LA DESVIACION ESTANDAR

En matemáticas y estadística una media o promedio es una medida de tendencia central que según la Real Academia Española (2001) «[…] resulta al efectuar una serie determinada de operaciones con un conjunto de números y que, en determinadas condiciones, puede representar por sí solo a todo el conjunto». Existen distintos tipos de medias, tales como la media geométrica, la media ponderada y la media armónica aunque en el lenguaje común, el término se refiere generalmente a la media aritmética.

La media estadística se usa en estadística para dos conceptos diferentes aunque numéricamente similares:
·                     La media muestral, que es un estadístico que se calcula a partir de la media aritmética de un conjunto de valores de una variable aleatoria.
·                     La media poblacional, valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria.
En la práctica dada una muestra estadística suficientemente grande el valor de la media muestral de la misma es numéricamente muy cercano a la esperanza matemática de la variable aleatoria medida en esa muestra. Dicho valor esperado, sólo es calculable si se conoce con toda exactitud la distribución de probabilidad, cosa que raramente sucede en la realidad, por esa razón, a efectos prácticos la llamada media se refiere normalmente a la media muestral.

Media muestral

La media resume en un valor las características de una constante teniendo en cuenta a todos los casos. Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas Media muestral: Si se tiene una muestra estadística de valores (X_1,X_2,...,X_n) de valores para una variable aleatoria Xcon distribución de probabilidad F(x,θ) [donde θ es un conjunto de parámetros de la distribución] se define la media muestral n-ésima como:


Desviación estándar

La desviación estándar o desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.
La desviación estándar se representa por σ.
Desviación estándar para datos agrupados

Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

APLICA LA PROBABILIDAD SIMPLE Y CONJUNTA


Probabilidad Simple

Probabilidad Simple


La posibilidad que hay de que ocurra algún evento determinado, por ejemplo, que de un recipiente con 5 pelotas verdes, 2 azules y 3 rojas obtengamos una roja es de .3, siempre debe ser un número menor o igual a uno, excepto cuando lo expresas en porcentaje.
Probabilidad simple es igual a la cantidad de formas en que un resultado específico va a suceder entre la cantidad total de posibles resultados. 
Una manera, muy usada en la práctica, de denominar la probabilidad un evento simple de un espacio muestral es como probabilidad simple o marginal, la cual hace referencia a la probabilidad de un evento simple, y se denota con P(A), siendo A el evento simple en cuestión. El nombre de probabilidad marginal se debe a que esta medida se puede obtener a partir de los totales marginales de una tabla de contingencia.
Ejemplo Probabilidad simple.
Probabilidad conjunta: 

Es la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos.
De la expresión P(B|A)=P(A∩B)/P(A) se pude despejar P(A∩B)=P(A)P(B|A) expresión llamada Ley de multiplicación de probabilidades.
P(A∩B) recibe el nombre de probabilidad conjunta y corresponde a la probabilidad de que se presenten resultados comunes a los eventos A y B.


Conjunto : Un conjunto es una colección bien definida de objetos ( con una característica especial), los cuales se denominan elementos o miembros del conjunto.
Un conjunto puede contener un número finito o infinito de elementos. Por ejemplo, el número de países de América es un conjunto finito, mientras que el conjunto de números Enteros es infinito.
Existen relaciones especiales entre los elementos de un conjunto y el conjunto , llamadas :
pertenece
Subconjunto: Es un conjunto que contiene algunos o todos los elementos de otro conjunto que ha sido tomado como referencia . Se dice que A es subconjunto de B, si A esta contenido dentro de B. Es decir :
                                                                   
Existen dos subconjuntos fundamentales que son:

Conjunto Universal
Conjunto Vacío
Veamos   algunos  ejemplos:
Sea A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}  ,    B= {2, 4, 6, 8},  C = {2, 10}  
Entonces B es un subconjunto de A; es decir;                             
C no es un subconjunto de A
                     
IGUALDAD ENTRE DOS CONJUNTOS
Dos conjuntos son iguales si contienen los mismos elementos, es decir:
                       
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Existen varias operaciones entre conjuntos pero las más importantes a la hora de aplicar probabilidades son:

UNIÓN: La unión entre el conjunto A y el conjunto B esta definida como los elementos que pertenecen al conjunto A o a  B  o a  ambos.
INTERSECCIÓN: La intersección entre el conjunto A y el conjunto B esta definida como los elementos que pertenecen al conjunto A y al  B.
COMPLEMENTO: El complemento del conjunto A esta definido como los elementos que pertenecen al conjunto Universal pero que no están en A, es decir, todos los elementos que le hacen falta a A, para ser igual al conjunto Universal.   Así :         
DIFERENCIA:  La diferencia entre el conjunto A y B  ( A – B ) esta definida como todos los elementos de A que no pertenecen a B.

Eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes

Eventos mutuamente excluyentes y eventos no excluyentes
Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos).
 Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultánea.
La regla de la Adición expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesos A y B es igual a:
P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) 
Si A y B son mutuamente excluyente:
P(A o B) = P(A) + P(B)  P(A y B) 
Si A y B son no excluyentes Siendo: 
P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento 
AP (B) = probabilidad de ocurrencia del evento 
BP(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B Eventos Independientes
Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

 

 

dependientes e independientes entre si



Eventos dependientes 
Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió. 

Eventos Independientes 
Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo. 
Ejemplo: 
lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.